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Wikipediaによる解説

導入としてまず、Wikipediaの内容を記す。

2015/12/21
From wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Otonality_and_Utonality

概要

OtonalityとUtonalityは、Harry Partchによって導入された用語であり、コードについて述べるときに使用される。そのコードとは、ピッチクラスがHarmonics、またはSubharmonicsにより与えられ、1つ1つ固定化された音である。例えば、Harmonicsは1/1、2/1、3/1....であり、SubHarmonicsは1/1、1/2、1/3......である。

定義

Otonalityは、周波数で表された、またそれぞれの音が固定化され関係性を表した、分母が等しいピッチのコレクションである。例えば、1/1と5/4、そして3/2（純正長3和音）は、Otonalityである。なぜなら、それらは4/4、5/4、6/4と表されるからである。各Otonalityはしたがって、Harmonic Series（1:2:3:4:5:6:7:8:9:10....によって表されるもの）のメンバーによって構成されている。同様に、Utonalityの周波数比は同じ分子により分けられる。7/4、7/5、7/6、そして1/1（7/7）はUtonalityを形作る。各Utonalityはそれゆえ、Subhamonic Seriesにより構成される。

　Otonalityは周波数比のArithmetic Series（不変の条件により連続したする、異なった値の音列）、または揺れ動く弦の長さと対応する。金管楽器は自然とOtonalityを生成する。そして実際、Otonalityはひとつの基本となる音の倍音を含んでいる。チューバのKhoomeiという歌い方の歌い手は、彼らの歌の広がりとともにOtonalityを生成する。

　Utonalityは正反対に、周波数のSubaharmonic seriesと、または、波長（周波数の逆数）のArithmetic Seriesと対応する。その数学的釣り合いは、「たぶんUtonality（minor tonality）の実演とみなすことである」。

一般的な西洋音楽理論との関係性

　主な記事は、Harmonic dualismである。
　Harry Partchは、1931年に「Otonality」と「Utonality
という新造語は、Henry Cowellsによる議論、「New Musical Resouces」において、あまり目立たないように書かれており、読まれていた。そのために「急がれた」のである。

　5リミットのOtonalityは単純な純正3和音であり、5リミットのUtonalityは純正短3和音である。したがってOtonalityとUtonalityはメジャーとマイナーのTonallityとして読むことができる。しかしながら、一般的な音楽理論でマイナーコードが、ルートから短3度と完全5度で形成されるが、Utonalityは通常5度を下げるのである。それゆえ完全に一致しない。これはHugo Riemannの理論と二元的に一致する。

Xenharmonic Wikiによる解説

序論

　純正コードを与えるとき、どのようにしてわれわれはOtonalな純正コードかUtonalな純正コードかを判断するのだろうか。これは前者のOtonalな純正コードであると判断されると思われるが、しかし実際はとても微妙なものである。たとえば、10:12:15という純正コードは、5リミットのUtonality（Utonalの名詞形）、1/6:1/5:1/4である。しかしまた、10，12，15倍音による15リミットのOtonalityとも受け取れる。1つの打倒的な定義は、もし最大の奇数が、そのInverse（下の音程と上の音程が逆の和音、または逆数の和音）の最大の奇数より小さい場合、それはOtonalであり、そしてそのInverseが最も大きい奇数より小さいならば、Utonalである。つまり4:5:6（長3和音）はOtonalである。なぜならばそのInverse（短3和音）である10:12:15よりも単純であるからである。そしてまた、10:12:15はUtonalである。なぜならそれは1/6:1/5:1/4より単純に表されるからである。
　補足をすると、次のようにも考えられる。4:5:6というInverseは1/6:1/5:1/4であり、10:12:15と同義である。4:5:6の最大の奇数は5であり、Inverseの最大奇数は15である。このとき5のほうが15より小さいので、4:5:6がOtonalであり、10:12:15がUtonalであると。

補足

　Xenharmonic wikiには直接的に書かれていないが、補足を行う。
UtonalityとOtonalityは必ず3和音である。2音はすべて1つのHarmonic Seriesとなるからである。またOtonal chord・Otonalityはx/k、y/k、z/kで表わせ、Utonal chord・Utonalityはk/x、k/y、k/zで表されるコードである。日本語にするならば、それぞれ上倍音による3和音、下倍音による3和音となるのではないだろうか。